2022-07-25

最小回転半径その２（バイクの場合）

前に四輪の回転半径について調べました。

quyosquer.hatenadiary.jp

ついでにバイクのケースも解析しておくと面白いかもしれません。バイクの場合もバイクを真っ直ぐに立てている時は４輪と同じですが、バンクさせることで回転半径を短くすることができます。YouTubeで白バイが狭い道でUターンする様子を見ることができます。回転半径はバイクの場合もホイールベースと前輪の切角で決まりますが、前輪の角度は車軸を路面に射影して計算していいと思います。バイクを傾けることで、前輪の切角はハンドルの切角より大きくなります。以下この方針で計算します。

図の様にバイクをx軸の上に置いて、前輪の中心を原点に合わせます。ハンドルの切角を $\theta$ 、バイクの傾きを $\phi$ とします。バイクの傾きはバイクをx軸周りに $\phi$ だけ回転させるのと同じことです。さて、バンク角がゼロのとき前輪の車軸の上にある点Pを考える。バイクを傾けるとPは $\phi$ だけ回転してP'にいく。これをxy平面に射影したものをP''とする。y軸からP''までの角度を $\alpha$ とおいてこれを求めるという問題です。

原点からPまでの長さを1として計算すると、P''の座標は $(sin\theta,cos\theta cos\phi)$ 、原点とP''の距離をピタゴラスの定理で求めて $sin\alpha$ を計算すると

\begin{equation}sin\alpha=\frac{sin\theta}{\sqrt{sin^{2}\theta+cos^{2}\theta cos^{2}\phi}}\end{equation}

$\alpha\geq\theta$ は式に頼らずとも図から明らかです。バンク角 $\phi$ がゼロのときは $cos0=1$ 、 $sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$ なので、当然 $\alpha=\theta$ となります。ホイールベースをLとすると、回転半径は $R=L/sin\alpha$ なので

\begin{equation}R=\frac{L\sqrt{sin^{2}\theta+cos^{2}\theta cos^{2}\phi}}{sin\theta}\end{equation}

となります。

では教習車で有名なCB400SFで計算してみましょう。

カタログ値によりますとCB400SFのホイールベースはL=1.41m、最小回転半径は2.6mだそうです。ここからハンドルの最大切角 $\theta$ は約33度であることがわかります。いま仮にバンク角 $\phi$ を30度としましょう。三角関数の近似表を使って計算すると、だいたい

\begin{equation}\sqrt{sin^{2}\theta+cos^{2}\theta cos^{2}\phi}=\sqrt{(0.54)^{2}+(0.84)^{2}\frac{3}{4}}=0.84\end{equation}

となりますので、これを上の式に代入すれば、近似で

\begin{equation}R=\frac{1.41\times 0.84}{0.54}=2.2\end{equation}

を得ます。つまり30度バンクさせたときの最小回転半径は2.2mというわけです。元の2.6から40cm短くなりました。これは半径ですから、道幅でいうと80cmくらい余裕ができたことになりますね。

2022-07-20

最小回転半径

資格数学・物理

免許を取るにあたって苦労したのが、第一段階のs字・クランクでした。２回も落ちました。自動車メーカーのサイトで車の大きさを数値的に調べたり、色々と試しましたが、免許を取った今になっても車体感覚が身についているとは言い難いです。教習ではとりあえずハンドルを切るタイミングを覚えてかろうじてクリアしました。

車の動きを決定するのが前輪の切角と車体の大きさです。ハンドルを一定の角度に回して前進すると、クルマの軌跡は円になります。ここで２つの前提条件があります。

４つのタイヤが描く４つの円は同心円である。
タイヤのホイール面はそれらの円に接している。

従って

４つのタイヤそれぞれの中心から伸びる垂線が１点で交わって、これが円の中心になっている。

一番外側の円の半径を、回転半径といいます。それでハンドルをめいっぱい切った時、前輪の切角が最大角になりますが、この時の回転半径を最小回転半径といいます。高校数学で簡単に求まりますので求めてみたいと思います。

前輪と後輪の中心間の長さ（ホイールベース）をL、タイヤの切角を $\theta$ 、回転半径をRとすると、図から簡単に分かるように $R sin(\theta)=L$ だから

\begin{equation}R=\frac{L}{sin(\theta)}\end{equation}

となりますね。

教習車のマツダ・アクセラで計算してみたいと思います。マツダのサイトによると、最小回転半径は5.3m、ホイールベースは2.7mのようです。なのでこの時、 $sin(\theta)=2.7/5.3\sim 0.51$ 、この数値を三角関数の近似表と照らし合わせると、だいたい $\theta=30度$ になります。従ってアクセラのタイヤは最大で30度くらい曲がるということですね。

注意！上の二つの前提条件が成り立たない場合もあるらしく、その場合は円の中心が一意に定義されません。それぞれの中心に対して半径を出して平均を取るようです。

2022-07-10

４０代、普通自動車免許を取る

資格

この歳になりまして、ようやくというか、一念発起して、コロナの影響もありましょう、ついに、車の免許を取りました。限定なしです。教習の悩みでノイローゼにもなりましたが、だいたい４ヶ月くらいで取ることができました。

動機

私は東京在住なので、実際のところ車の必要性を感じることはほとんどありません。半径１０kmくらいは自転車で移動するので、日頃から不便も感じていませんでした。田舎に帰った時に免許があればなあ〜と思うことはありますが、それも大した理由にはなりませんでした。免許取得にチャレンジしようと思った一番の動機は「わしはこのまま一生クルマの運転をしないまま終わるのか」と思うと少し寂しく感じたことです。人生の経験として、死ぬまでに車の運転ぐらい経験しておこうかと思ったのでした。

申込み

自動車学校には、一番混んでいる1月に申し込みを行いました。2月から学科の授業を受け始めて、3月から技能教習が始まりました。周りには若い人しかいません。当然高校生もいましたよ。４０代のおっさんが高校生と机を並べて勉強するというのもシュールですね。入校時にマニュアルコースとオートマコースに別れるわけですが、私は世代的に「男はマニュアル」という空気を吸って育った世代ですからマニュアルを選択しました。今の若い人は女子はほぼ全員オートマ、男子も半分くらいはオートマだそうです。結論から言えば、オートマが賢い選択だとは思います。そもそももうマニュアル車が走っていない！一方でマニュアルには操作する面白さや、クラッチを上手に繋げた時の満足感があるので、今となってはマニュアルを選択してよかったと思っています。慣れるまではかなり苦労したのも事実ですが。。。ちなみに、私の親の世代は全員マニュアルです。教習所の年配の先生も「昔は全員マニュアルで取ったんじゃよ」と仰っていました。

若い人たち

中高年で免許を取ろうとする人は年齢を気にしがちですが、その必要はないと思います。さすがにこれからプロレーサーになるのは無理でしょうけど、普通に運転する分には全然遅くありません。仮免検定や卒業検定、グループ教習で若い人の運転を見る機会がありましたが、ぜんぜん差は感じませんでした。みんな同じようなものです。そもそもたった十数時間の練習で上手いも下手もありません。

現代の教習所

教習所に怖いイメージを持っている人も多いと思います。私は子供の頃に見た、舘ひろし主演の映画「免許がない」のイメージが強かったです。意地悪な教官や鬼教官のいる怖いイメージです。しかし時代の変化ですね。現代の教習所は客商売、サービース産業に生まれ変わっているようです。少子化で教習所間の競争が激化しているというのもあると思います。教習では指導員の先生からダメ出しされるわけですが、怒鳴られたりとか、昭和時代にありがちなめちゃくちゃなことはなかったです。

教材では紙の教科書も配布されますが、現代ではスマホのアプリを使ってクイズ形式で勉強します。おかげで学科の勉強は特に苦もなくできました。下に学科教習で教室で試聴する動画（ドンドンドライブ）の例を貼っておきます。若い頃に免許をとった人は時代の変化に驚くのではないでしょうか？

www.youtube.com

試行錯誤

そこまでやる必要ないと思いましたが、ドライビングシューズを買いました。ドライビングシューズはカースポーツ用の靴で、特別にソールが薄く作られており、クラッチやアクセルの操作感が普通のスニーカーと比べて素足に近いんですね。ソールが薄いので長時間歩くのには向いていません。普段はニュースバランスのスニーカーを履いているんですけど、ドライビングシューズのペダルの操作感は確かに全然違います。私は第一段階でやる断続クラッチの習得に大変苦労しまして、ドライビングシューズの購入まで追い込まれてしまいました。S字クランクで２回延長しました。あのときは焦りました。こりゃ自分には無理なんじゃないかと落ち込みました。

YouTube

教習所の先生やプロドライバーといった人たちがYouTubeにドライビングチャンネルを開設しています。これがめちゃくちゃくためになります。YouTubeがあれば自動車学校いらんのでは？と思えるほどです。クラッチ操作、駐車方法や車線変更の方法などなど、必要な運転技術について、教習所で習うより遥かに詳しくわかりやすく解説してくれています。免許はあるけど運転に自信がない人にもオススメです。例えばこんなのです：ほかにもいっぱいあるので自分にあったチャンネルを探すといいと思います。

www.youtube.com

2022-04-04

接続からBianchiの恒等式まで

数学・物理

１準備

計算の舞台として、微分形式全体 $(\Omega,d)$ 、微分形式を成分に持つ行列環 $M\Omega$ 、そして微分形式を係数に持つ線型空間 $\Omega\otimes V$ と $\Omega\otimes EndV$ を考える。

２接続形式を定義する

相対論なども考慮しまして、gを正値とは限らないリーマン計量とする。接ベクトル場の局所基底を $e_{i}$ と置く。基底の微分は無限小成分を使って

\begin{equation}de_{i}=\Gamma_{i}^{j}e_{j}\end{equation}

と書くことができる。ここで各 $\Gamma_{i}^{j}$ は1形式で $\Gamma_{i}^{j}=\Gamma_{ik}^{j}dx^{k}$ 、各 $\Gamma_{i}^{j}e_{j}$ は $\Omega\otimes V$ のエレメント。また $e_{i}\cdot e^{j}=\delta_{i}^{j}$ から双対基底 $e^{j}$ の微分は $de^{j}=-\Gamma^{j}_{i}e^{i}$ となる。

Gammaを求める

基底の内積 $g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j}$ から

\begin{equation}dg_{ij}=\Gamma_{i}^{k}e_{k}\cdot e_{j}+e_{i}\cdot \Gamma_{j}^{k}e_{k}=\Gamma_{i}^{k}g_{kj}+g_{ik}\Gamma_{j}^{k}=\Gamma_{ji}+\Gamma_{ij}\end{equation}

ただし $\Gamma_{ij}:=g_{ia}\Gamma^{a}_{j}$ と置いた。加えて特別な無限小接ベクトル $\epsilon:=dx^{i}e_{i}$ は定数ベクトルであるべきという条件

\begin{equation}d\epsilon=-dx^{i}de_{i}=-dx^{i}\Gamma_{i}^{j}e_{j}=0\end{equation}

から

\begin{equation}\Gamma_{ijk}=\frac{1}{2}(g_{ij,k}+g_{ik,j}-g_{jk,i})\end{equation}

が求まる。

３リーマン曲率テンソルを求める

$dde_{i}$ を計算すると

\begin{eqnarray}dde_{i}&=&d(\Gamma_{i}^{j}e_{j})\\&=&d\Gamma_{i}^{j}e_{j}-\Gamma_{i}^{j}de_{j}\\&=&d\Gamma_{i}^{j}e_{j}-\Gamma_{i}^{j}\Gamma_{j}^{k}e_{k}\\&=&(d\Gamma_{i}^{j}-\Gamma_{i}^{a}\Gamma_{a}^{j})e_{j}\end{eqnarray}

こうして計算された2形式が求める曲率テンソル

\begin{equation}R_{i}^{j}:=d\Gamma_{i}^{j}-\Gamma_{i}^{a}\Gamma_{a}^{j}\end{equation}

曲率テンソルは2形式 $R_{ikl}^{j}dx^{k}dx^{l}$ を成分にもつ行列になっている。

曲率テンソルの対称性

$R_{ijkl}=g_{ia}R^{a}_{jkl}$ と置いたとき、Rは2形式の行列だから $R_{ijkl}=-R_{ijlk}$ は明らか。 $dg_{ij}=\Gamma_{ji}+\Gamma_{ij}$ から

\begin{equation}ddg_{ij}=d\Gamma_{ji}+d\Gamma_{ij}=0\end{equation}

また曲率の定義から

\begin{eqnarray}R_{ji}&=&g_{ja}d\Gamma_{i}^{a}-g_{jb}\Gamma_{i}^{a}\Gamma_{a}^{b}\\&=&d(g_{ja}\Gamma_{i}^{a})-(dg_{ja})\Gamma_{i}^{a}-\Gamma_{i}^{a}g_{jb}\Gamma_{a}^{b}\\&=&d\Gamma_{ji}-(\Gamma_{aj}+\Gamma_{ja})\Gamma_{i}^{a}-\Gamma_{i}^{a}\Gamma_{ja}\\&=&d\Gamma_{ji}-\Gamma_{aj}\Gamma_{i}^{a}-\Gamma_{ja}\Gamma_{i}^{a}-\Gamma_{i}^{a}\Gamma_{ja}\\&=&d\Gamma_{ji}-\Gamma_{aj}\Gamma_{i}^{a}+\Gamma_{i}^{a}\Gamma_{ja}-\Gamma_{i}^{a}\Gamma_{ja}\\&=&d\Gamma_{ji}-\Gamma_{aj}g^{ab}\Gamma_{bi}\\\end{eqnarray}

が得られ、これより $R_{ij}=-R_{ji}$ が分かる。

$d\epsilon=0$ から当然にして

\begin{equation}dd\epsilon=dx^{i}dde_{i}=dx^{i}R_{i}^{j}e_{j}=0\end{equation}

これがFirst Bianchi identityというやつで $R_{ikl}^{j}$ が3形式としてzeroだと言っている。従って

\begin{equation}R_{ikl}^{j}+R_{lik}^{j}+R_{kli}^{j}=0\end{equation}

さらにこれらの対称性から次のことも分かる：まず

\begin{eqnarray}R_{ijkl}-R_{klij}&=&R_{ijkl}+R_{kijl}+R_{kjli}=R_{ijkl}-R_{ikjl}+R_{kjli}\end{eqnarray}

$jkl$ に関して両辺のサイクリック和をとるとFBから

\begin{eqnarray}R_{klji}+R_{jkli}+R_{ljki}&=&R_{kjli}+R_{lkji}+R_{jlki}\\&=&-R_{jkli}-R_{klji}-R_{ljki}\end{eqnarray}

ゆえに $R_{klji}+R_{jkli}+R_{ljki}=0$ 。これが下のリレーションと同値なことはすぐに分かる。

\begin{eqnarray}R_{ijkl}=R_{klij}.\end{eqnarray}

４第二ビアンキの恒等式

曲率を改めて $\Omega\otimes EndV$ のエレメント $R=R_{i}^{j}e_{j}\otimes e^{i}$ と見直して共変微分する

\begin{eqnarray}dR&=&dR_{i}^{j}e_{j}\otimes e^{i}+R_{i}^{j}de_{j}\otimes e^{i}+R_{i}^{j}e_{j}\otimes de^{i}\\&=&dR_{i}^{j}e_{j}\otimes e^{i}+R_{i}^{j}\Gamma_{j}^{a}e_{a}\otimes e^{i}-R_{i}^{j}e_{j}\otimes \Gamma_{a}^{i}e^{a}\\&=&dR_{i}^{j}e_{j}\otimes e^{i}+R_{i}^{a}\Gamma_{a}^{j}e_{j}\otimes e^{i}-R_{a}^{j}e_{j}\otimes \Gamma_{i}^{a}e^{i}\\&=&(dR_{i}^{j}+R_{i}^{a}\Gamma_{a}^{j}-\Gamma_{i}^{a}R_{a}^{j})e_{j}\otimes e^{i}\\&=&(dR_{i}^{j}+[R,\Gamma]_{i}^{j})e_{j}\otimes e^{i}\end{eqnarray}

一方、Rの定義から

\begin{eqnarray}dR_{i}^{j}=-(d\Gamma) \Gamma+\Gamma d\Gamma=-(R+\Gamma\Gamma)\Gamma+\Gamma(R+\Gamma\Gamma)=-[R,\Gamma]_{i}^{j}\end{eqnarray}

よって

\begin{equation}dR=0\end{equation}

これがいわゆるビアンキ恒等式で、テンソル記法だと $dR$ は3形式なので

\begin{eqnarray}(dR)_{iklm}^{j}+(dR)_{imkl}^{j}+(dR)_{ilmk}^{j}=0\end{eqnarray}

となる。

2022-03-01

ウクライナ戦争の影響

フランス語

すごいことになりましたね。まさか２０２２年になってこんな戦争が起こるとは！

戦争が起こってからフランスのメディアを注視してるんですけど、やはりこれは「ヨーロッパの戦争だ」という認識のようですね。欧州各国とＥＵは、軍隊こそ送らないけど、武器を供与するなど軍事的にウクライナの後方支援をはっきり表明しています。

さてフランスでは大統領選が控えていますが、マクロンさんの勝利は間違い無いでしょう。フランスは伝統的に危機下では大統領の元に結束する国民性があるといいます。有力候補の選挙戦は軒並み失速。極左も極右も親ロシア的だったので、この戦争のおかげで大きく後退してます。例えばエリック・ゼムールはNATO辞めるとまで言ってましたし、、、またメロンションのツイートでは

La Russie est un partenaire. Je ne suis pas d'accord pour qu'on en fasse un ennemi. Nous avons fait entrer 10 pays dans l'OTAN à l'Est, ce qui a été ressenti comme une menace par la Russie. Surtout quand on installe des batteries de missiles anti-missiles en Pologne. #Elysee2022 pic.twitter.com/vHmmSIuKZ7
— Jean-Luc Mélenchon (@JLMelenchon) 2022年1月3日

という具合です。フランスの両極が親ロシア的というのは日本から見ると面白い現象ですね。仏露は歴史的なつながりも深いですからね。今はともかく、早く戦争が終わってくれるのを祈るばかりです。

2022-02-12

こども新聞(Le journal des enfants)

フランス語

フランス語を勉強してる人たちに人気なのが、フランスのこども新聞Le journal des enfantsです。Le Mondeのような大人向け新聞は、慣れた人でもいざ読もうと思ったら「よし！読むぞー！！」と気合を入れないといけませんし、内容も決して簡単ではありません。その点こども新聞なら簡単ですし、記事もなんだかかわいらしい。重たい話題にもあまり深刻にならず触れることができます。また大人向け新聞は購読するとなるとけっこう高くて、ルモンドだと一番安いプランでも、月に約１０ユーロ。現在の円相場で１３００円くらいですから、年間にしたら馬鹿にできません。学生さんや貧乏人には購読は難しいですね。私もそうなんですが、ほとんどの人は無料記事だけを読んでいると思います。一方、Le journal des enfantsは週刊ですが、月に４.５ユーロと比較的安く済みます。

ただ、これは全ての新聞雑誌に言えることですが、個人による海外新聞の購読には、クレジットカード利用による海外サブスクの不安がありますね。つまり解約できなくなったらどうしよう！？という不安です。海外サブスクの場合、一般に解約できなくなってもクレジットカードの引き落としは続きます。カード会社が建て替えて支払うので、ユーザーはカード会社に対して支払いの義務が発生します。まあ怪しいサイトと違って相手は新聞社ですから、解約できないということはないんですけど、日本のサイトと同じ感覚で、クリック一つで解約できるとは限りません。書留でLettre de resiliationを送らなきゃいけないというケースもあるようです（La Posteのサイトから送れます。）また学生さんでクレジットカードを持ってない人もいると思います。

それで、ここでおすすめなのが、ベルギーのこども新聞Le journal des enfants.beです：

Accueil - Le JDE

仏国のこども新聞と比べまして

先ず、対象年齢が１歳上で、９歳から１３歳です。フランスのは８歳から１２歳でした。
次にiTunesで１部づつ購入することができます。ここがポイント高いですね。値段も１部＝１ユーロと安いですよ。クレジットカードの登録無しに、読みたいときに読みたい号だけ買うことができます。

私はiPadにJDE.BEのアプリを入れて時々購入して読んでいます。

興味がある人は試してみてください！

2022-02-07

フランス語と古日本語の共通点（メモ）

フランス語

現代フランス語と日本語の古文に見られる共通点のメモ

venirと来（く）：フランス語の「来る」であるvenirには「話し相手のいる場所に行く」の意味もある。現代の日本語にはこの意味はない（と思う）。一方、日本語の古文の「来（く）」には同じように、相手のいる場所に行くの意味がある。例えば伊勢物語から<<大和人「来む」と言へり>>

否定命令形のNe...pasと「な...そ」：フランス語の否定命令のNe...pas（「...するな」）とほぼ同じなのが、古文の「な...そ」。古文の「な...そ」は願望も含むので、ニュアンスの違いはあるかもしれないが、大意と二単語で挟むというサンタクスは同じ。例えば竹取物語から<<物知らぬこと　な　のたまひ　そ>>

他にも調べればいっぱいあると思うので、気がつくたびに記録していこう。飽きなければ。